起訴變更撫養權的舉證期限是收到訴訟狀副本之日起十五日內，起訴變更撫養權的，人民法院應當在立案之日起五日內將起訴狀副本發送被告，被告應當在收到之日起十五日內提出答辯狀。
人民法院應當在送達案件受理通知書和應訴通知書的同時向當事人送達舉證通知書。舉證通知書應當載明舉證責任的分配原則與要求、可以向人民法院申請調查取證的情形、人民法院根據案件情況指定的舉證期限以及逾期提供證據的法律後果。
舉證期限可以由當事人協商一致，並經人民法院認可。由人民法院指定舉證期限的，指定的期限不得少於三十日，自當事人收到案件受理通知書和應訴通知書的次日起計算。
《中華人民共和國民事訴訟法》第一百二十五條
《民事訴訟證據規則》第三十二條
《民事訴訟證據規則》第三十三條
